La théorie de l'élément de pale (BEM, Blade Element Momentum) pour les éoliennes et les hydroliennes découpe la pale en anneaux et résout, pour chacun, deux équations couplées : l'équilibre des efforts sur le profil et le bilan de quantité de mouvement du fluide. Elle fournit les vitesses induites axiale et tangentielle, donc la poussée et le couple de chaque élément. Cette page l'établit pour les hélices motrices, éoliennes et hydroliennes, avec les deux corrections classiques de Prandtl et de Glauert.

Au sommaire :

• Théorie de l'élément de pale couplée à Froude
• Bilan de quantité de mouvement sur un anneau
• Vitesses, incidence et efforts sur le profil
• Facteurs d'induction axiale et tangentielle
• Correction de Prandtl, pertes en bout de pale
• Correction de Glauert, fortes inductions
• Algorithme de calcul BEM

1 : Théorie de l'élément de pale couplée à Froude (méthode BEM)

La théorie de Froude (« momentum theory ») relie la vitesse induite axiale à la force de poussée. Elle suppose que l'écoulement ne tourne pas, et ne dit rien de la forme à donner à la pale. Or la conservation du moment cinétique impose que le fluide tourne, dans le sens opposé à celui du rotor, pour que celui-ci puisse extraire un couple utile.

La BEM s'appuie sur les résultats de Froude pour estimer la force axiale d'un élément, et y ajoute les performances des profils répartis le long de la pale. Elle introduit la rotation de l'air et fournit les vitesses induites tangentielles et axiales qui composent la vitesse induite de Froude. L'emploi des coefficients Cz et Cx (Cl et Cd en anglais) des profils détermine la géométrie de la pale, donc permet de la construire concrètement.

Nous définissons ainsi un facteur d'induction axiale (a) et un facteur d'induction tangentielle (a'). Un système d'équations, résolu par itérations convergentes avec les performances Cx et Cz des éléments de pale, nous donne les vitesses induites et les performances de chaque élément. Nous verrons aussi deux corrections : la première compense le nombre infini de pales supposé par Froude (facteur de pertes en bout de pale de Prandtl), la seconde corrige les fortes inductions axiales, où la théorie de Froude cesse d'être valide (correction de Glauert, au-delà d'un facteur d'induction axiale de l'ordre de 0,4).

Le modèle repose sur quatre suppositions :

• l'écoulement en amont, loin du plan du rotor, est entièrement axial ;
• au plan du rotor, l'air tourne ; cette rotation diminue beaucoup loin en aval, de sorte que la pression statique y est égale à la pression atmosphérique ;
• il n'y a pas d'interférence entre éléments adjacents de la pale ;
• l'écoulement autour d'un élément de pale est bidimensionnel.

2 : Bilan de quantité de mouvement sur un anneau de pale

Dans la méthode de Froude, le volume de contrôle est global. Ici, nous utilisons des anneaux comme volumes de contrôle, pour connaître la variation de quantité de mouvement élémentaire de chaque anneau du rotor. La somme des performances de ces anneaux donne celles de l'hélice.

Figure 1 : un anneau d'épaisseur dr, au rayon r, découpe un élément dans la pale.

La variation de quantité de mouvement d'un anneau d'épaisseur dr, au rayon r, donne la force de traction axiale T sur l'élément :

• u₁ est la vitesse loin en aval, soit V₀(1 − 2a) ; u est la vitesse au disque, V₀(1 − a) ;
• a est le facteur d'induction axiale.

Elle donne aussi le couple MR sur l'élément, en introduisant la vitesse tangentielle induite :

• C_θ est la vitesse tangentielle en aval ;
• C_θ = 2a'ωr, en considérant que la vitesse tangentielle en amont est nulle ;
• a' est le facteur d'induction tangentielle ;
• r est la distance à l'axe, en mètres, et ω la vitesse angulaire du rotor, en rad/s.

En introduisant a et a' dans les équations 6.1 et 6.2, nous obtenons :

et

3 : Vitesses, angle d'incidence et efforts de portance et de traînée sur le profil

Rappelons les grandeurs de la figure 2 :

• la vitesse Ve (m/s) perçue par l'élément combine la vitesse tangentielle Ω r (1 + a') et la vitesse axiale V (1 − a) ;
• la vitesse induite tangentielle est Wt (m/s) = Ω r a' ;
• la vitesse induite axiale est Wa (m/s) = −a V ;
• β (radians) est l'angle de calage, entre le plan de rotation et la corde du profil ;
• φ (radians) est l'angle apparent, que fait avec le plan de rotation la résultante de la vitesse de rotation Ω r et de la vitesse amont V ;
• φ + αi (radians) est l'angle entre le plan de rotation et la vitesse relative Ve ;
• α (radians) est l'angle d'incidence perçu par le profil : α = (φ + αi) − β.

Nous constatons que :

Figure 2 : vitesses, angles et efforts sur un profil d'éolienne. Wa et Wt s'ajoutent à la vitesse du fluide pour former la vitesse Ve vue par le profil.

La portance dL est perpendiculaire à la vitesse Ve, et la traînée dD lui est parallèle. Si les coefficients de portance et de traînée sont connus, elles s'écrivent :

1. portance dL (N) = 0,5 ρ Ve² c Cl dr ;
2. traînée dD (N) = 0,5 ρ Ve² c Cd dr.

• Cl est le coefficient de portance (Cz dans la littérature française), extrait de la base de données de profils ;
• Cd est le coefficient de traînée (Cx), extrait de la même base ;
• c (m) est la corde du profil, entre bord d'attaque et bord de fuite ;
• ρ est la masse volumique du fluide, en kg/m³.

Nous cherchons la force perpendiculaire au plan de rotation (la poussée) et la force parallèle au plan de rotation (celle qui fait tourner). Portance et traînée sont projetées dans ces deux directions, avec les angles de la figure 2 :

• force normale au plan de rotation (N/m) Pn = dL cos(φ + αi) + dD sin(φ + αi) ;
• force tangentielle, dans le plan de rotation (N/m) Pt = dL sin(φ + αi) − dD cos(φ + αi).

Normalisées par 0,5 ρ Ve² c, elles donnent les coefficients :

• Cn = Cl cos(φ + αi) + Cd sin(φ + αi), soit Cn = Pn / (0,5 ρ Ve² c) (6.14) ;
• Ct = Cl sin(φ + αi) − Cd cos(φ + αi), soit Ct = Pt / (0,5 ρ Ve² c) (6.15).

La figure 2 donne aussi :

• Ve sin(φ + αi) = V (1 − a) (6.16) ;
• Ve cos(φ + αi) = Ω r (1 + a') (6.17).

La solidité σ est la part de la surface annulaire de rayon r qui est couverte par les pales :

• σ(r) = c(r) B / (2 π r) (6.18),

avec B le nombre de pales, c(r) la corde locale et r la position radiale de l'anneau. Pn et Pt étant des forces par unité de longueur, la poussée T et le couple MR sur l'anneau d'épaisseur dr sont :

• poussée sur l'élément (N) : T = B Pn dr (6.19) ;
• couple sur l'élément (N·m) : MR = r B Pt dr (6.20).

En utilisant (6.14) pour Pn et (6.16) pour Ve, l'équation (6.19) devient :

En utilisant (6.15) pour Pt, et (6.16) et (6.17) pour Ve, l'équation (6.20) devient :

4 : Facteurs d'induction axiale et tangentielle (formules)

Si nous égalisons les équations (6.21) et (6.4) et appliquons la définition de la solidité, nous obtenons l'expression du facteur d'induction axiale a :

Si nous égalisons les équations (6.22) et (6.5), nous obtenons le facteur d'induction tangentielle a' :

5 : Correction de Prandtl, pertes en bout de pale

La méthode de Froude suppose une infinité de pales sur le disque. Le facteur de pertes en bout de pale de Prandtl corrige les performances selon le nombre de pales. Ce facteur F corrige les équations (6.4) et (6.5), qui deviennent :

et

Le facteur de perte F de Prandtl se calcule ainsi :

où

B est le nombre de pales, R le rayon en bout de pale, r le rayon local de l'élément et φ + αi l'angle de l'écoulement perçu par l'élément (figure 2). En reprenant (6.31) et (6.32) à la place de (6.4) et (6.5) pour établir a et a', nous obtenons :

et

6 : Correction de Glauert pour les fortes inductions axiales

Quand le facteur d'induction axiale dépasse environ 0,4, la théorie de Froude n'est plus valide. Glauert propose des corrections liées au coefficient de poussée. Plusieurs relations empiriques entre le coefficient de poussée C_T et le facteur d'induction axiale ont été établies pour coller aux mesures. Nous retenons celle de Spera (1994), où a_c vaut approximativement 0,2 :

Le facteur F de pertes en bout de pale corrige l'hypothèse du nombre infini de pales. La poussée sur un élément est donnée par :

Le coefficient de poussée C_T est, par définition :

En introduisant (6.21) dans (6.39), nous obtenons pour C_T :

Nous introduisons maintenant la correction (6.38). Si a < a_c :

ce qui donne :

C'est l'équation (6.35), inchangée. Si en revanche a > a_c :

ce qui donne :

avec :

Une précision de notation : dans cette page, Ct désigne le coefficient tangentiel du profil (équation 6.15), tandis que C_T désigne le coefficient de poussée de l'anneau (équation 6.39).

7 : Algorithme de calcul BEM d'une éolienne

Ces relations permettent un algorithme qui converge par itérations. Il calcule séparément les vitesses induites de chaque élément de pale, avec les corrections de Prandtl et de Glauert, à partir des performances des profils. Il donne la poussée et le couple de chaque élément ; en les sommant, nous obtenons les performances de chaque pale, puis celles de l'hélice entière. Les étapes sont :

1. initialiser a et a' à zéro ;
2. calculer l'angle φ + αi par l'équation (6.7) ;
3. calculer l'angle d'incidence α = (φ + αi) − β ;
4. lire dans la base de données les performances Cl et Cd du profil de l'élément pour cet angle α ;
5. calculer Cn et Ct d'après les équations (6.14) et (6.15) ;
6. calculer a et a' d'après les équations (6.44) ou (6.42), et (6.36) ;
7. si a et a' ont changé de plus d'une tolérance donnée, retourner à l'étape 2, sinon terminer ;
8. calculer les forces sur les éléments.

Rappel de la figure 2, qui sert de repère pour toutes les formules.

Pour aller plus loin, nous pouvons revoir la théorie de Froude et la limite de Betz, voir comment cette méthode se décline pour les hélices propulsives, ou consulter les références bibliographiques.